对偶霍普夫代数

霍普夫代数的结构映射在“代数”箭头与“余代数”箭头之间均分，而对偶化——把每个线性映射反转——在保持整体形状的同时交换这两半。因此霍普夫代数的对偶仍是霍普夫代数，乘法与余乘法互换位置。这种完美对称是该理论最优雅的特征之一，也是“群上的函数”与“群代数”之间对偶的根基。

对有限维霍普夫代数 H，线性对偶 H* = Hom(H, k) 是霍普夫代数，其乘法对偶于 Δ_H，余乘法对偶于 m_H，单位对偶于 ε_H，余单位对偶于 u_H，对极 S_{H*} = (S_H)*。配对 ⟨f g, h⟩ = Σ f(h(1)) g(h(2)) 与 ⟨Δ(f), h ⊗ h'⟩ = f(h h') 把这点明确化。在无限维中以受限（霍普夫）对偶 H° 替代 H*，即对偶结构能闭合的最大子空间。

两个原型互相对偶：有限群的群代数 k[G] 与 G 上函数的函数代数 k^G 是对偶霍普夫代数。余交换一侧（k[G]）对偶为交换一侧（k^G），反之亦然。对量子群，此对偶把形变坐标代数 O_q(G) 与形变包络代数 U_q(g) 配对，故研究其一即研究其二。