泰特上同調

泰特上同調把有限群的同調與上同調融合成由全體整數（正與負）標號的單一序列。通常上同調住在非負次，同調住在非正次；在零次它們幾乎相遇，卻因範數映射而不一致。泰特的想法是恰好在那條接縫處把二者拼接起來、用範數修補錯位，從而得到一套優雅理論，它雙向延伸並平等地對待兩半。

對有限群 G 與 G 模 A，泰特上同調群 Ĥ^n(G, A) 對所有 n 屬於 Z 有定義。對 n >= 1 它們等於通常的上同調 H^n(G, A)；對 n <= -2 它們等於同調，Ĥ^n(G, A) = H_{-n-1}(G, A)。在接縫處，Ĥ^0(G, A) = A^G / N(A) 是不動點模範數 N = 對 g 求和的 g 之像，而 Ĥ^{-1}(G, A) = ker(N) / I·A 是範數核模增廣子模。一個完全（雙向無限）分解使這一切統一。

泰特上同調是類域論的自然居所：互反同構、泰特–中山定理，以及布饒爾群的計算都住在這裡。它的標誌性特徵是對循環群的週期性：若 G 循環，則對所有 n 有 Ĥ^n(G, A) ≅ Ĥ^{n+2}(G, A)，故整個雙向無限序列僅由兩個群 Ĥ^0 與 Ĥ^{-1} 決定，二者之比即埃爾布朗商。