PID 上有限生成模的結構定理

這是整門學科的總定理。它說：PID R 上任何有限生成模 M 都能拆成盡可能簡單的零件——一個自由部分（若干份 R 自身）加上有限個循環撓模之和，而且這種分解本質上唯一。一旦有了它，兩大典範形都只是推論，而非新定理。

結論有兩種等價形式。不變因子形式：M 同構於 R^r 加 R/(d1) 加 R/(d2) 加 … 加 R/(dk)，其中 d1 | d2 | … | dk。初等因子形式：M 同構於 R^r 加上若干 R/(p^e) 之和，每個素方冪一份。整數 r 是自由秩；諸 d_i 是不變因子；諸 p^e 是初等因子。

把 R 特化為 F[x]，把 M 取為通過 T 視作 F[x]-模的有限維 V。則 V 是撓模（r = 0），循環零件 R/(f_i) 恰好是帶友矩陣作用的循環子空間，兩種形式就分別成為有理標準形（不變因子）和約當形（初等因子，在分裂域上）。它真的是一條戴著兩頂帽子的定理。

兩點誠實的提醒。自由秩 r 唯一，不變因子也唯一，但拆成循環直和項只在同構意義下唯一——你實際挑出的那些子模並不典範。還有，結論需要有限生成：去掉它，就會冒出無限秩或不可分解的模。