V 作為 F[x]-模

這是驅動全部典範形理論的那一個戲法。從一個向量空間 V 和一個固定算子 T 出發。我們本就會用 F 中的純量去乘向量；現在我們宣布變量 x 的作用就是 T。一旦 x 意味著「作用 T」，任何多項式 p(x) = a_n x^n + … + a0 的作用就是 p(T) = a_n T^n + … + a0 I。於是 V 突然成了多項式環 F[x] 上的模。

確切地說，定義純量乘法 p(x) . v := p(T)(v)。所有模公理自動成立，因為 T 的多項式相加相乘就像 x 的多項式一樣（它們可交換、可分配）。算子 T 不再是漂浮在 V 旁邊的獨立對象——它已被吸收進純量本身。

圖什麼？這部詞典把每個算子問題翻譯成模問題，而在那裡 PID 上模的強大結構定理就能用（F[x] 是 PID）。T-不變子空間就是子模；循環子空間就是循環模；極小多項式就是零化理想的生成元。典範形作為模分解自然落出。

需要分清的一點：同一個 V 上不同的算子 T 給出真正不同的 F[x]-模結構。底層加法群完全相同，但 x 的作用不同，所以 (V, T) 與 (V, S) 作為模同構恰好就是 T 與 S 相似。模記住了算子。