表現矩陣 xI - A

當你用算子 A 把 V 變成 F[x]-模時，你需要一種具體編碼這個模的方式，好拿來計算。表現矩陣 xI - A 正是這種編碼：多項式環 F[x] 上的一個方陣，它告訴你該模一組選定生成元之間的全部關係。

邏輯如下。取 V 的標準基 e1、…、en 作生成元。關係來自 x 的作用：x . e_j = A e_j = sum_i A_ij e_i，整理成 (x . e_j) - sum_i A_ij e_i = 0。把這 n 條關係打包成列，得到的正是矩陣 xI - A。所以 V 作為 F[x]-模，就是映射 F[x]^n -> F[x]^n（由 xI - A 給出）的餘核。

它為何是主力：一旦 V 由 xI - A 表現，結構定理就成了一項計算。你用 F[x] 上的可逆行列變換把 xI - A 對角化——這就是史密斯標準形——其非單位對角元素就是不變因子。表現矩陣是從算子到模再到典範形的橋樑。

需要分清的一點。表現矩陣是多項式矩陣，不是數值矩陣；它的行列式是特徵多項式 det(xI - A)。別把這裡允許的行列操作（在 F[x] 上可逆，不能除以非單位）與域上普通的數值高斯消元混淆——正是多項式約束讓不變因子有意義。