不變因子

不變因子是完全刻畫算子（在相似意義下）的那一小串多項式——它們是算子在基域上的完整指紋。把不變因子交給別人，他就能精確重建這個算子（在相似意義下作為矩陣）；兩個算子相似當且僅當它們有相同的這串列表。

它們形成一條整除鏈 f1 | f2 | … | fk，都是首一多項式，每個整除下一個，且次數都至少為 1。整除性正是關鍵：它把列表逼成唯一、有序的形狀，毫無歧義。乘積 f1 f2 … fk 等於特徵多項式，而最後（最大）的 fk 等於極小多項式。

它們從何而來？它們是矩陣 xI - A 在多項式環 F[x] 上的史密斯標準形中（除單位以外的）對角元素。用模的語言等價地說，它們就是把 V 作為 F[x]-模做結構定理分解時出現的不變因子。兩條路都通向同一串典範列表。

一個微妙卻關鍵的事實：擴大域不會改變不變因子。這正是相似與域無關的原因——指紋是用 F[x] 上的行列變換算出來的，從不需要特徵值或擴域。