有理標準形

約當形固然美妙，卻有點取巧：它要求特徵值真的存在，這就逼你在複數域上工作（或某個使特徵多項式完全分解的域）。有理標準形是誠實的替代方案。它能在任意域上——有理數、實數、有限域——為任意算子給出一個標準的分塊對角矩陣，全程不計算任何特徵值，也不離開你出發的那個域。

具體地說，有限維空間 V 上的每個算子 T 都相似於唯一的分塊對角矩陣，它的塊是多項式 f1、f2、…、fk 的友矩陣 C(f1)、C(f2)、…、C(fk)，且滿足 f1 | f2 | … | fk（每個整除下一個）。這些多項式就是 T 的不變因子，友矩陣塊沿對角線排列。「有理」一詞的意思是：它只用原矩陣元素上的四則運算造出來——不開根，不擴域。

它的重要性在於它是相似的真正典範形：域 F 上兩個矩陣在 F 上相似，當且僅當它們有完全相同的有理標準形。所以 RCF 徹底解決了相似問題，而且做到與域無關——你升到更大的域時答案不變。

關於名字的一點提醒：「有理」指的是留在基域內，而非特指有理數。在複數域上 RCF 依然存在；只是那裡通常不如約當形方便，因為在能用特徵值時友矩陣塊比約當塊更臃腫。