友矩陣

取任意首一多項式 f(x) = x^n + c(n-1) x^(n-1) + … + c1 x + c0。友矩陣是為它量身打造的矩陣，其特徵多項式——以及極小多項式——恰好就是 f。它是以 f 為唯一結構指紋的最簡單矩陣，也是構造有理標準形的那塊磚。

標準佈局把 1 放在次對角線上，把 f 的係數取負後豎排在最後一列：C(f) 在主對角線正下方有一串 1，最後一列自上而下讀作 -c0、-c1、…、-c(n-1)（有些教材把它轉置到最後一行）。無論哪種，C(f) 都是 T 限制到循環子空間後，在基 v、Tv、…、T^(n-1) v 下的矩陣。

它的威力在於把抽象關係 T^n v = -c0 v - c1 Tv - … 直接翻譯成矩陣元素。在紙上看到一個友矩陣塊，你立刻就能讀出它編碼的多項式，反之亦然——多項式與矩陣成了同一對象的兩種視角。

當心轉置約定：常見佈局有四種（係數放最後一行還是最後一列、1 在次對角線還是上對角線）。它們彼此相似，故編碼同一個多項式，但字面元素不同——比較矩陣前先對齊你的來源。