友矩陣

給定任意首一多項式 p(x) = x^n + c_(n-1) x^(n-1) + ... + c_1 x + c_0，友矩陣 C(p) 是一個特定的 n 階矩陣，專為把 p 實現為算子而構造。你在次對角線上放 1，把取負的係數寫進最後一列（或最後一行，視約定而定）。它就是被設計得使其代數恰好匹配該多項式的矩陣。

它的標誌性特徵引人注目：C(p) 的特徵多項式與極小多項式都等於 p。所以對你所選的任意首一多項式，都存在一個算子，其全部特徵故事——特徵值、它們的完整重數、一切的一切——皆由 p 支配，且極小多項式與特徵多項式重合。這恰恰發生於 C(p) 是循環的：單個向量 e_1 在 C 的反覆作用下生成整個空間。

此處 char = min 的原因是循環結構。向量 e_1, C e_1, C^2 e_1, ..., C^(n-1) e_1 線性無關（它們本質上就是標準基），故沒有次數低於 n 的多項式能零化 C。因此極小多項式次數為 n，而它又總整除 n 次的特徵多項式，逼得二者相等。

它為何重要：友矩陣證明了每個首一多項式都是某人的特徵多項式；它們是有理標準形的構件（有理標準形把不變因子的友塊堆疊起來）；它們還把 n 階線性遞推或常微分方程轉化為可用矩陣方法攻擊的一階系統。