有理標準形的存在唯一性

這條定理讓有理標準形值得在意。它一次說兩件事：存在性——任意域 F 上有限維空間上的每個算子都相似於一個有理標準形矩陣；唯一性——這個 RCF 是唯一的（不變因子，從而友矩陣塊的排佈，完全由算子決定）。

存在性來自把結構定理用到作為 F[x]-模的 V 上：V 分裂成循環模 F[x]/(f1) 加 … 加 F[x]/(fk) 的直和，且 f1 | f2 | … | fk，在每個循環零件裡取自然基就把 T 變成友矩陣的分塊對角陣。唯一性來自不變因子的唯一性，它們正是 xI - A 的史密斯標準形對角元——子式的最大公因式，故與基無關。

把兩半合起來，你就得到相似的完全不變量：A 與 B 在 F 上相似，當且僅當它們有完全相同的不變因子，等價地有相同的 RCF。無需特徵值、無需可對角化假設、無需代數閉域——它在 Q、R、有限域，任何域上都一致成立。

關於唯一性的一點精確提醒。不變因子列表（從而 RCF）是唯一的，但實現該分解的那些循環子空間並不唯一——唯一的只是它們的同構類型。所以唯一性是關於那個典範矩陣的陳述，而非關於分解子空間的典範選擇。