有理形與約當形

有理標準形與約當標準形是同一台機器的兩種輸出，區別只在於用哪種貨幣結算。RCF 由不變因子和友矩陣塊搭成，在任意域上都行；JCF 由初等因子搭成，只活在使特徵多項式完全分解的域上（代數閉域，或至少分裂域）。

順著模的圖景走一遍。結構定理給 V 兩種描述：不變因子形式給出 RCF 的友矩陣塊，而初等因子形式在分裂域上給出塊 (x - lambda)^e。每個這樣的塊就是特徵值 lambda 處一個 e 階約當塊。所以初等因子與約當塊字面上是同一份數據；一旦特徵值存在，JCF 就是圍繞它們重組的 RCF。

實際權衡：當你有特徵值時 JCF 更透明——你直接讀出諸 lambda，而矩陣的冪、指數、函數在近對角塊上都好算。RCF 更穩健——它從不離開基域，從不需要開根，因而是 Q、有限域或任何你拒絕擴域時的正確工具。

一個乾淨的把握方式：在 C 上兩種形式攜帶完全相同的資訊，可以自由互換。在 R 或 Q 上，JCF 可能根本不存在（想想沒有實特徵值的旋轉），而 RCF 總存在。當實矩陣有複特徵值時，它的 RCF 用一個二次友矩陣塊，而 JCF 本會需要一個複的 2x2 約當塊。