初等因子

如果說不變因子是粗粒度的指紋，那麼初等因子就是把同樣的資訊砸碎到素原子。把每個不變因子分解成不可約（素）多項式的方冪，再把所有這些素方冪連同重數收集起來：這一袋素方冪就是初等因子列表。

形式地說：把每個 f_i 在 F 上分解成不可約因子 f_i = p1^(e1) p2^(e2) …，初等因子就是橫跨所有不變因子出現的每一個單獨因子 p^e。由於諸 f_i 形成整除鏈，你可以從初等因子唯一地反推出不變因子——兩串列表攜帶完全相同的內容，只是重新組織過。

它們的招牌作用：在代數閉域上每個不可約因子都是線性的，p = x - lambda，於是每個初等因子都是 (x - lambda)^e——而這恰好是特徵值 lambda 的一個 e 階約當塊。所以初等因子就是約當塊。在一般域上，某些不可約因子次數更高，每個初等因子則給出單個友矩陣（或準素）塊。

提醒：初等因子依賴於域，因為何為不可約取決於域。在實數域上 x^2 + 1 是素的；在複數域上它分裂成 (x-i)(x+i)。所以擴域時初等因子可能進一步細分，儘管不變因子不變。