相似與域無關

這是一條驚人又有用的定理：若兩個元素在域 F 中的矩陣，在你把 F 擴大到更大的域 K 之後變得相似，那麼它們一開始在 F 上就已經相似了。升到更大的域永遠造不出新的相似關係——你在高處發現的，在基域底下早已為真。

確切地說：設 A、B 元素在 F 中，並設存在元素在 K（F 的某個擴域）中的可逆矩陣 P 使 P^-1 A P = B。結論是：存在這樣一個元素都在 F 中的 P。換基矩陣可以被帶回基域。

證明是有理標準形的一行推論。不變因子由 xI - A 的史密斯標準形算出，只用到 F 上多項式的最大公因式——而這些運算在過渡到 K 時不變。所以 A 與 B 在 F 上有相同不變因子，當且僅當它們在 K 上有相同不變因子。相同不變因子意味著相同 RCF，意味著在 F 上相似。

為何令人安心：它意味著你在自己的本域上做的相似分類就是最終答案；你永遠不必擔心某個奇異擴域會偷偷合併兩個類。與之對照的是可對角化，它確實依賴於域——一個矩陣可以在 R 上不可對角化卻在 C 上可對角化。但相似本身是會下降的。