由不變因子得到極小/特徵多項式

不變因子不只是分類工具——它們讓你幾乎不費力就把極小多項式和特徵多項式直接讀出來。一旦你有了鏈 f1 | f2 | … | fk，算子最重要的兩個多項式就擺在那裡。

規則很乾淨。特徵多項式是全部不變因子的乘積：charpoly = f1 f2 … fk（其次數因而是維數 n，因為各次數相加）。極小多項式是那個最大的不變因子：minpoly = fk。fk 能被其餘所有整除，正是它零化每個循環零件、從而零化整個 V 的原因。

這讓幾條經典事實變得透明。極小多項式整除特徵多項式（fk 整除乘積）——這就是凱萊-哈密頓定理，一眼讀出。極小與特徵多項式有相同的不可約因子（fk 裡的每個素因子也出現在乘積中），解釋了它們為何共享相同的根，即特徵值。而算子是循環的（無虧的），當且僅當只有一個不變因子，即 minpoly = charpoly。

一個值得點明的微妙處：極小與特徵多項式本身一般並不決定相似類——它們只釘住最大的不變因子和總次數。要知道一切，你需要完整的鏈 f1、…、fk。兩個不相似的算子可以共享極小和特徵多項式，卻在中間的因子上不同。