自由模與秩

自由模是行為最像向量空間的模：它有一組基。具體地說，環 R 上的自由模是 R 自身若干份的直和 R^r，任何元素都是標準生成元的唯一 R-組合。份數 r 就是秩——維數的模類比。

在 PID 上秩是良定義的：自由模的任意兩組基大小相同，所以 r 是真正的不變量，正如向量空間的維數。自由模恰好就是無撓的有限生成模；在結構定理中，R^r 是與循環撓直和項並列的自由部分。

它在這裡為何重要，以及一個乾淨的妙語：在算子情形下 V 是一個完全為撓的有限生成 F[x]-模（凱萊-哈密頓殺光一切），所以它的自由秩為零。根本沒有 R^r 部分——V 純粹是循環撓模之和，這正是有限維算子完全分解成友矩陣塊或約當塊、毫無剩餘的原因。

為保持類比誠實的一點提醒：在一般環上秩可能失常（某些環允許 R^m 同構於 R^n 而 m 不等於 n），且無撓不總蘊含自由。PID 假設才恢復了像向量空間那樣的乾淨行為——而這恰恰是 F[x] 滿足的假設。