極小多項式與特徵多項式
算子的多項式相互交換
算子一般不交換：AB 與 BA 可以天差地別。但有一處安全港。同一個算子 T 的任意兩個多項式彼此交換：p(T) q(T) = q(T) p(T)，永遠如此。原因很簡單：單個算子的冪彼此交換（T^i T^j = T^(i+j) = T^j T^i），而多項式正是由這些冪搭成的。
把 T 的全體多項式收進集合 F[T] = { p(T) : p in F[x] }。這是 End(V) 的一個交換子代數——對加法、純量乘法與（交換的）乘法封閉，並含有 I。它是坐落在一般不交換的全體算子之海中的一座小而溫馴的交換之島，其維數是極小多項式的次數。
交換的算子共享結構。每個 p(T) 都保持 T 的每個特徵子空間與每個廣義特徵子空間不變，因為 (T - lambda I) 與 p(T) 交換，故 p(T) 把 ker(T - lambda I)^j 映入自身。特別地，譜投影、冪零部分與半單部分，以及 T^-1（當其存在時），都住在 F[T] 中並自動尊重 T 的特徵結構。
這正是多項式方法對單個算子如此強大的原因：你從不離開一個友好的交換世界，你用 T 搭建的每個構造都繼承 T 的不變子空間，而函數演算、譜投影與逆都坐落在一個整潔的代數裡。另一面是：要關聯兩個不同的算子，你需要它們先交換，那是一個獨立而更強的假設。
p(T) q(T) = q(T) p(T) for all polynomials p, q
F[T] = span{ I, T, T^2, ..., T^(d-1) }, d = deg(m_T)
p(T) maps each generalized eigenspace of T into itself
單個算子的所有多項式彼此交換，構成一個有限維交換代數，並自動保持該算子的不變子空間。
F[T] 是 End(V) 中含有 T 的最小子代數，恰為求值同態的像。它未必是與 T 交換的全體算子（完整的換位子可以更大），但它總坐落在那個換位子之內。
又稱
另見