在算子處的多項式求值

固定一個算子 T，考慮這樣一條規則：它把多項式 p(x) 變成算子 p(T)——把每個 x 換成 T，每個常數 c 換成 cI，再把結果讀作單個算子。例如 x^2 + 3x - 5 變成 T^2 + 3T - 5I。這條規則就是求值映射 ev_T: F[x] -> End(V)。

奇妙之處在於 ev_T 尊重一切算術。它把和送到和，把純量倍送到純量倍，而且——關鍵事實——把積送到積：(pq)(T) = p(T) q(T)。它還把常數多項式 1 送到恆等 I。一個保持加法、乘法與單位元的環間映射稱為環同態，所以 ev_T 是從 F[x] 到 End(V) 的代數同態。

它的像是 F[T]，即 T 的全體多項式構成的子代數，它自動是交換的——儘管整個 End(V) 並不交換——因為單一元素 T 的多項式彼此交換。它的核是被送到零算子的多項式集合，即恰是前幾詞條中的零化理想 I(T)。

現在環的第一同構定理閉合了這個迴路：F[x] / ker(ev_T) 同構於像。既然核由極小多項式 m 生成，這便讀作 F[x]/(m) 同構於 F[T]。於是關於 T 的代數的每個結構性事實，都是關於商環 F[x]/(m) 的事實——一次從算子到多項式的、極為乾淨的轉移。