極小多項式與特徵多項式
零化多項式理想
把零化某個固定算子 T 的每一個多項式收進一個集合，記 I(T) = { p in F[x] : p(T) = 0 }。上一詞條已觀察到這個集合是環 F[x] 的一個理想；本詞條為它命名、研究其形狀，並提煉出要點。可把它看作算子的代數簽名，以一組多項式的形式記錄下來。
F[x]，即域 F 上的一元多項式環，是主理想整環（PID）：每個理想都是某個單一生成元的全體倍數。所以 I(T) = (g) 對某個多項式 g 成立——又因非零理想有唯一首一生成元，g 必定是極小多項式 m_T。理想的抽象代數坍縮為一個你可以計算的具體對象。
使 F[x] 成為 PID 的，是帶餘除法：給定任意 p 與任意非零 d，可寫 p = qd + r 且 deg r < deg d。取 d = m_T 來跑一遍：餘式 r 也零化 T（因為 p 與 qm 都零化），但 r 的次數低於極小次數，逼得 r = 0。這正是為何 m 整除每一個零化多項式——PID 結構就是那台引擎。
概念上這是線性代數把方向盤交給環論之處。單個理想 I(T) 編碼了算子的零化行為，商環 F[x]/I(T) 同構於 T 的多項式構成的代數 F[T]，且這些想法可放大：把 F[x] 換成一般 PID 便給出有理標準形背後的結構定理。
I(T) = (m_T) = { q(x) * m_T(x) : q in F[x] }
F[x] / I(T) is isomorphic to F[T] = { p(T) : p in F[x] }
零化理想恰是極小多項式的全體倍數，用它對 F[x] 取商便重現了 T 的全體多項式構成的代數。
I(T) 絕不會是整個環（常數 1 不會零化非零空間），在有限維下也絕不會只是 {0}（凱莱-哈密頓提供了一個非零成員）。所以它是一個真正的、非零的真理想——恰是首一生成元唯一的情形。
又稱
另見