舒爾補

給定塊矩陣 M = [A, B; C, D]，其中 A 可逆，A 的舒爾補為 S = D - C A^-1 B。它是以 A 為主元消去塊 C 之後，塊 D 所剩下的部分。你可以把它讀作：當第一個塊的影響被摺疊進來之後，第二個塊的有效行為。

它是塊線性代數中最有用的單一量，因為三個不同的問題都歸結於它。可逆性：M 可逆當且僅當 A 與 S 都可逆。行列式：det(M) = det(A) det(S)。而 M^-1 的 (2,2) 塊恰為 S^-1，故 S 支配著在第一個變量被解出之後第二個變量如何響應。

正定性也會傳承。對稱矩陣 M 正定，當且僅當 A 正定且其舒爾補 S 正定。這正是分塊檢驗正定性背後的引擎，也是 Cholesky 與 LDL^T 分解背後的引擎——它們不過是反覆的舒爾補步驟。

它在各領域都承載實際意義。在統計中，共變異數塊的舒爾補就是一組高斯變量在給定另一組時的條件共變異數。在最佳化中它出現在 KKT 與鞍點系統裡。又由於 S 的條件可能遠比 M 差，它也是一個警示信號，提示著一個外表良性的矩陣內部潛藏的數值敏感性。