塊分解與舒爾補

把矩陣劃分成 2x2 的子矩陣網格 M = [A, B; C, D]，其中 A 與 D 為方陣。塊分解是在整塊層面（而非單個元素層面）做高斯消元。你透過從頂部塊列中減去 C A^-1 倍來消去左下塊 C，正如純量消元從主元列中減去其倍數。

結果是塊 LU 形式：M = [I, 0; C A^-1, I] [A, B; 0, S]，其中 S = D - C A^-1 B 是 A 在 M 中的舒爾補。下因子記錄塊乘子 C A^-1；上因子是塊上三角，對角線上是 A 與 S。它就是普通 LU，只是用塊扮演數的角色。

這為分塊問題給出乾淨的公式。行列式分解為 det(M) = det(A) det(S)。M 的逆可以完全用 A^-1 與 S^-1 寫出，這是塊求逆公式的基礎。而解 M x = b 則拆成用 A 解與用 S 解，這正是區域分解與鞍點求解器分而治之的方式。

回報既是結構上的也是計算上的。若 A 是一個大而易求逆的塊（比如塊對角或稀疏），你就把一個大問題約化為關於 S 的小得多的問題。代價與純量消元相同：要構造 C A^-1，A 必須可逆，故當左上塊天然奇異時可能需要塊選主元。