LDL^T 分解

Cholesky 很優美，但它對每個主元都要開平方根，而平方根既慢又只對正數有定義。LDL^T 分解保留了 Cholesky 的對稱結構，卻繞開了開方：它把對稱矩陣 A 寫成 A = L D L^T，其中 L 是單位下三角矩陣（對角線為 1），D 是對角矩陣。

訣竅是把主元留在單獨的對角因子 D 中，而不是把它們的平方根拆進 L。若 A 正定，則 D 的元素全為正，令 Cholesky 的 L 等於（此處的 L）乘以 sqrt(D) 即可還原 Cholesky。但由於 D 允許含負元素或零，LDL^T 也能處理不定的對稱矩陣，而這正是 Cholesky 不存在的情形。

不定的對稱系統無處不在：約束最佳化產生的鞍點問題、KKT 系統、內點法都會生成它們。對這些情形，穩健的版本是 Bunch-Kaufman 變體，它允許 D 中出現 1x1 和 2x2 的分塊，並對稱地選主元以保證穩定。它是對稱不定系統的標準求解器。

提醒：對不定的 A，不帶選主元的樸素 LDL^T 仍可能不穩定，正如樸素 LU 一樣。當必須保持對稱、又不能假定正定時，你真正呼叫的是帶分塊選主元的 Bunch-Kaufman 方案。