Cholesky 分解

當一個矩陣是對稱正定時，它擁有一種類似平方根的特殊分解，是統計、最佳化和物理中的主力工具。Cholesky 把它寫成 A = L L^T，其中 L 是下三角矩陣，對角線元素為正。你可以這樣理解：A 等於它自己的因子乘以該因子的鏡像。

它恰好在 A 正定時存在，這一點最為精妙。對 A 做對稱的高斯消元；正定性保證每個主元都嚴格為正，於是你可以對每個主元取平方根，並均勻地分給 L 和 L^T。反過來，若 A = L L^T 且 L 可逆，則對任意非零 x，有 x^T A x = ||L^T x||^2 > 0，所以 A 必正定。存在性與正定性是同一句話。

實際代價約為 (1/3) n^3 次浮點運算，大約是 LU 的一半，因為對稱性讓你只需計算並儲存下三角，並完全跳過選主元。它是最小二乘中正規方程的標準求解器，是取樣高斯分佈時共變異數矩陣的工具，也用於最佳化中的牛頓步。

它還兼作一種廉價的正定性檢驗。嘗試做分解：一旦遇到非正的主元，矩陣就不是正定的，於是停止。這遠比為了檢查符號而去算特徵值要可靠得多。