選擇合適的分解

可用的分解有十來種，真正實用的本領是把工具與矩陣、與任務相匹配。兩個問題幾乎決定一切：矩陣有什麼結構（一般、對稱、正定、稀疏），以及你想拿它做什麼（解一個或多個系統、做最小二乘擬合、求特徵值、算矩陣函數）？

對解方陣系統 A x = b：一般矩陣用帶部分選主元的 LU；對稱正定矩陣應用 Cholesky（代價減半、無需選主元）；對稱不定矩陣用帶 Bunch-Kaufman 選主元的 LDL^T。若矩陣大且稀疏，先做減少填充的重排序，再用上述方法的稀疏版本。

對高瘦矩陣的最小二乘 min ||A x - b||：用基於 Householder 的 QR，它避免了正規方程那樣把條件數平方；當矩陣秩虧或你需要最穩健的答案時，用 SVD。對一般矩陣求特徵值，算 Schur 分解；對對稱矩陣，用正交的譜分解，它既精確又穩定。

兩條貫通各處的規則。若矩陣在兩次求解之間只改動一點點，不要重新分解；更新現有分解（Sherman-Morrison-Woodbury，或 n^2 的 QR/Cholesky 更新）。並且始終權衡條件數：良態問題可容忍更廉價的工具，而病態問題即便有更快的方法形式上適用，也可能非用 SVD 不可。