QR 分解（再探）

你在第一門課中見過 A = Q R，它是 Gram-Schmidt 的矩陣形式：Q 的各行正交歸一，R 是上三角。Q 的各行是逐行構造出來的、A 行空間的一組正交歸一基。這幅圖景是對的，但其背後的計算值得再看一眼。

經典 Gram-Schmidt 在數值上很脆弱。逐步減去投影會累積捨入誤差，算出的 Q 各行會偏離正交性，有時偏得很厲害。現代的 QR 計算方式根本不去正交化 A 的各行，而是從左側對 A 施加一連串正交變換，每次把一行的次對角部分置零，直到剩下的就是 R；累乘起來的變換便構成 Q。

這些正交變換就是 Householder 反射（預設方式，整行反射）或 Givens 旋轉（一次處理一個元素，適合稀疏或已近三角的矩陣）。由於每一步都是精確的正交映射，長度和角度都被保持，捨入誤差不會被放大。結果是後向穩定的：算出的 Q 與 R 所分解的矩陣非常接近 A。

QR 是最小二乘的正確工具。用正規方程求解 min ||A x - b|| 會把條件數平方，而分解 A = Q R 再解 R x = Q^T b 則完全避免了這種平方。QR 還驅動求特徵值的 QR 演算法，在那裡它被反覆迭代，把矩陣推向三角形式。