豪斯霍爾德反射

Householder 反射就是一面鏡子。取一個定義超平面（即與 v 垂直的平面）的單位向量 v，變換 H = I - 2 v v^T 就把每個向量關於該超平面作鏡像反射。從幾何上看，它是除恆等映射之外最乾淨的正交映射：把沿 v 的分量翻轉，而讓平面內的一切原封不動。

它在分解中的威力在於：你可以挑選這面鏡子去恰好完成一件有用的事——取給定的行向量 x，把它反射到某個座標軸上，使結果成為 (± ||x||, 0, 0, ..., 0)。一次選得好的反射就能一舉把某行中主元下方的所有元素置零。施加 n-1 次（每行一次），就把 A 化為上三角形式，這正是 QR 分解中的 R。

由於 H 既對稱又正交（H = H^T，H H = I，故 H = H^-1），它保持所有長度和角度，施加它不會放大捨入誤差。這正是 Householder QR 後向穩定的原因，與 Gram-Schmidt 形成鮮明對比。你從不構造完整的 H 矩陣；只存 v，並用 H x = x - 2 v (v^T x) 來作用，每行代價約為 n 的量級。

一個需要小心的細節：為避免當 x 已幾乎指向目標軸時發生災難性抵消，應選擇把 x 映到 -sign(x1) ||x|| e1 的反射，即送往遠端軸向而非近端。正是這一符號選擇使演算法穩健。