謝爾曼-莫里森-伍德伯里公式

假設你已知 A^-1，然後用一個低秩部分擾動 A：A_new = A + U C V^T，其中 U 與 V 是高瘦的（k 行），C 是一個小的 k 階矩陣。從頭重算逆要花 n^3。Woodbury 公式精確地給出新的逆，而把所有重活都放到一個微小的 k 階矩陣上完成。

恆等式為 (A + U C V^T)^-1 = A^-1 - A^-1 U (C^-1 + V^T A^-1 U)^-1 V^T A^-1。右邊唯一需要求逆的非平凡矩陣是 k 階的容量矩陣 C^-1 + V^T A^-1 U。當 k 很小時（常常 k = 1），它幾乎免費。秩 1 的特例 A_new = A + u v^T 就是著名的 Sherman-Morrison 公式。

它是當 A 略有改動時一切廉價重解的代數支柱。卡爾曼濾波、遞迴最小二乘、高斯過程更新與內點法都用它把一個新觀測或約束摺疊進現有分解，而無需再付出完整求逆的代價。

兩點誠實的告誡。其一，它可能數值不穩定：若容量矩陣近乎奇異，相減會放大誤差，正因如此，更新後的三角分解常比顯式的 Woodbury 逆更受青睞。其二，它要求容量矩陣可逆，而當該更新會使 A_new 奇異時，這恰恰失效。