限制映射

限制映射是從子群的視角觀看群上同調的自然方式。若一個上閉鏈是為大群所有元素定義的規則，你可以乾脆忘掉子群之外的元素、只保留子群上的規則。這種遺忘操作尊重上閉鏈與上邊緣，故下降為上同調群之間的同態，從整個群降到子群。

給定群 G、子群 H，與 G 模 A（通過限制作用它也是 H 模），限制是上鏈上由「把 G^n 上的函數限制為 H^n 上的函數」所誘導的同態 res : H^n(G, A) -> H^n(H, A)。它是函子性的，且與連接同態交換，故給出長正合序列之間的映射。限制是膨脹–限制機制的一半；另一半膨脹，對一個商沿相反方向進行。

一個核心結構事實是：當 [G : H] 有限時，存在沿相反方向的轉移（corestriction/transfer）映射 cor : H^n(H, A) -> H^n(G, A)，滿足 cor ∘ res = 乘以 [G : H]。這迫使有限 G 的 H^n(G, A) 被群階零化（取 H = 1），並支撐把上同調歸約到西羅子群的標準做法：H^n(G, A) 的 p 準素部分單射進 H^n(P, A)，其中 P 是西羅 p 子群。