膨脹映射

膨脹是把上同調從商群提升到整個群的自然方式。若你有一個正規子群 N 與一個定義在商 G/N 上的上閉鏈，便可通過簡單地與投影 G -> G/N 複合，把它拉回到整個群——G 的每個元素被要求按它所落入的陪集行事。這種拉回把商上的上閉鏈變成 G 上的上閉鏈，從而誘導上同調上的映射，方向與限制相反。

確切地說，設 N 是 G 的正規子群，A 是 G 模。不動子模 A^N 是商 G/N 上的模。膨脹是上鏈上由商映射 G -> G/N 連同包含 A^N -> A 所誘導的同態 inf : H^n(G/N, A^N) -> H^n(G, A)。它是函子性的，且如限制一樣與長正合序列及上積相容。

膨脹與限制嵌入膨脹–限制正合序列，這是從 H^*(G/N, -) 與 H^*(N, -) 計算 H^*(G, A) 的林登–霍赫希爾德–塞爾譜序列最簡單的片段。在低次它讀作 0 -> H^1(G/N, A^N) -> H^1(G, A) -> H^1(N, A)^{G/N} -> H^2(G/N, A^N) -> H^2(G, A)，正合，最後一個映射是超渡映射。這個五項序列是本學科最常用的計算工具之一。