本原環

從雙邊理想的角度看，單環是不可分的，但這條件有時太強，無法直接套用於表示論中出現的環。本原環恰好把它放鬆到位：不再要求沒有理想，而是要求一個忠實單模——一個不可約表示，其中環的任何非零元都不作用為零。本原環就是能在某物上忠實且不可約地作用的環，是域作用於一條直線的非交換替身。

確切地說，環 R 是（左）本原的，若它有一個忠實單左模 M；忠實意指 R 中湮滅整個 M 的元素只有 0，單意指 M 除 0 與 M 外沒有子模。等價地，R 有一個不含非零雙邊理想的極大左理想。每個單環都是本原的，每個本原環都是素的，所以本原性嚴格介於二者之間。

本原環的結構由雅各布森稠密定理刻畫，這是此處的非交換皇冠明珠：本原環作為除環 D = End_R(M) 上的線性變換環，在其忠實單模 M 上稠密地作用，意即作用的任何有限片段都能由 R 中某元素匹配。當 M 在 D 上有限維時，這迫使 R 成為全矩陣環 M_n(D)，從而在單阿廷情形還原阿廷–韋德伯恩。

本原性是雅各布森根的概念核心：任何環的根恰是所有單模的湮滅子之交，等價地是到一切本原商環的映射之核的交。所以一個環「像半單」恰當它有足夠多的本原商來分離其元素，而本原環是探測根所經由的不可約靶子。