正交群

正交群收集了空間的每一個使形式保持不變的線性運動——即長度與角度的對稱。對 R^n 上的普通點積，這些就是旋轉與反射，是固定原點的剛體運動。對一般的二次形式，它們是保持其取值的線性映射，是那個幾何的『等距』。

給定二次空間 (V, Q)，正交群 O(Q) 是滿足對一切 v 有 Q(g v) = Q(v)（等價地對極形式有 B(g u, g v) = B(u, v)）的可逆線性映射 g : V → V 之集合。在座標下，若 Q 的對稱矩陣為 A，則它是矩陣群 { g : g^T A g = A }。它在複合下成群：恆等保持 Q，兩個等距之複合仍為等距，等距之逆仍為等距。

當 A = I 時，這就是經典的實正交矩陣群 O(n)，O(n) = { g : g^T g = I }；行列式為 1 的子群是特殊正交群 SO(n)，即旋轉。對不定的實形式，得到諸如 O(p, q) 的群，例如勞侖茲群 O(3, 1)。在有限體上它們成為李型有限群，許多單群作為其導出子群出現，從而把二次形式與有限單群分類聯繫起來。