型的正交基

雙線性型 B 的正交基是一組基 e_1, ..., e_n，其中不同的基向量在 B 下正交：當 i != j 時 B(e_i, e_j) = 0。要點在於，在這樣的基下型的矩陣是對角的——所有非對角的交叉項都消失——於是二次型變成乾淨的平方和 d_1 x_1^2 + ... + d_n x_n^2。找到這樣一組基，就是把型對角化。

要小心：「對型正交」不等同於「在通常點積下正交」。這些向量不必有單位長度，不必看上去互相垂直——它們只需在 B 下配對為零。所以這是一個相對的概念：正交永遠是相對於某個選定的型而言，對一個型正交的基對另一個型一般是斜的。

構造方法是適配於型的 Gram-Schmidt。你挑一個 B(e, e) != 0 的向量，把空間其餘部分對它作 B-正交投影，再對所剩部分遞迴。這對任何特徵非 2 數域上的對稱雙線性型都奏效，從而證明核心存在定理：每個對稱型都有正交基，故可由合同對角化。

型版本揭示了一個點積所掩蓋的微妙之處：你可能碰上一個 B(e, e) = 0 的向量（迷向向量），無法歸一化、甚至無法從它出發開始投影。補救是換入另一個向量，或使用一對雙曲對；迷向向量之所以存在，恰因為這裡允許不定型與退化型，不同於嚴格為正的內積情形。