主軸定理

主軸定理說：任何實二次型都能透過正交換元對角化——一次剛性的座標軸旋轉（可能帶反射），不含拉伸。存在對稱矩陣 B 的一組特徵向量構成的標準正交基，在其中 Q 化為 lambda_1 y_1^2 + ... + lambda_n y_n^2，而這一次係數正是 B 的特徵值。

這是譜定理的化身。因為 B 是實對稱的，譜定理給出一個正交矩陣 P（故 P^T = P^-1）使 P^T B P = diag(lambda_i)。這裡的奧妙在於 P^T B P 與 P^-1 B P 重合——當 P 正交時，合同與相似恰好一致。所以這一次剛性換基同時對角化了算子與型。

幾何上的回報是二次曲線或二次曲面的「主軸」。對橢圓 x^T B x = 1，B 的特徵向量指向長軸與短軸方向，特徵值定下軸長（半軸 = 1/sqrt(lambda)）。旋轉到特徵基，就把一個傾斜的、帶交叉項的方程變成軸對齊座標方向的教科書標準形。

請仔細將它與單純的合同對角化對比。配方法用任意可逆 P，只固定係數的符號（符號差）；主軸定理則堅持 P 正交，並還原出真正的特徵值，保持長度與角度。你為這份額外的剛性所付的代價，是要求數域為實數且型為對稱。