二次曲線/二次曲面分類

平面上的二次曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）與空間中的二次曲面（橢球面、拋物面、雙曲面、錐面、柱面）都是某個二次方程的零點集。其二次部分是一個二次型 x^T B x；主軸定理把它的交叉項旋轉掉，所得平方係數的符號——即符號差——告訴你得到的是哪一種命名形狀。

在兩個變量中，把純二次部分對角化後，你讀兩個係數的符號。同號給出橢圓（符號差 (2,0) 或 (0,2)）；異號給出雙曲線（符號差 (1,1)）；缺失一個平方（一個零係數，即二次部分退化）再配上一個保留的一次項，給出拋物線。決定類型的是特徵值的符號，而非其大小。

在三個變量中，同樣的想法擴充了菜單：符號差 (3,0) 是橢球面，(2,1) 是雙曲面（按常數項不同分單葉或雙葉），一個零特徵值配上恰當的一次項給出拋物面，等等。剩下的一次項與常數項只是平移和挪動曲面；二次型的符號差定下根本形狀。

對完整流程要誠實：分類一般的二次曲線或曲面還需處理一次項與常數項，用 (n+1) 乘 (n+1) 的增廣矩陣及其秩最為乾淨，藉以區分真正的曲線與退化情形（一個點、一對直線、空集）。但要點在於：二次部分的符號差是為幾何命名的首要不變量。