符號差

實對稱型的符號差是三元組 (p, q, z)：當你把它對角化時，p 是正平方的個數，q 是負平方的個數，z 是零係數的個數。西爾維斯特慣性定律保證這些計數與你如何對角化無關，故這個三元組是型真正的屬性，而非任何特定基的屬性。

這三個數是實對稱型的完整不變量：兩個實對稱矩陣合同當且僅當它們有相同的符號差。所以在實數上，把二次型按合同分類已經完成——只需讀出 (p, q, z)。秩為 p + q（非零平方的個數），而 z = n - 秩，所以三個數中其實只有兩個是自由的。

許多資料把符號差報成單個數 p - q，即正項超出負項的盈餘，尤其當型非退化（z = 0）使得僅憑 p 與 q 就確定一切時。兩種約定都常見；讀書時務必弄清作者指哪一個。在物理中，時空度規的符號差 (+,-,-,-) 正是這個想法，其中 p = 1、q = 3。

符號差從何而來值得一提：它等於對稱矩陣 B 的正、負、零特徵值的個數。合同打亂實際的特徵值，卻不能改變它們的符號，故特徵值的符號與符號差是同一份資料。這座橋——特徵值你能算、符號差你能解釋——正是主軸定理要緊的原因。