西爾維斯特慣性定律

西爾維斯特慣性定律說：當你把一個實二次型對角化為帶符號的平方和時，正係數的個數、負係數的個數、零的個數，無論你用了哪種對角化換元都相同。各個係數本身並不被鎖定——你可以縮放它們——但把它們的符號數一數，卻是鐵打的不變量。

用矩陣敘述：若實對稱矩陣 B 合同於兩個對角矩陣，則這兩個對角陣的正元、負元、零元個數相同。所以合同可以自由地挪動對角值，卻絕不能把一個正號變成負號，也不能憑空製造或消滅一個零。這三個計數才是合同真正記住的東西。

證明是一個乾淨的維數計數論證。設型在某個 p 維子空間上為正，而另一種對角化給出 p' 個正項且 p' < p；那麼 p 維的正子空間與 n - p' 維的非正子空間，其維數之和超過 n，迫使存在一個非零的公共向量，它既正又非正——矛盾。故 p = p'，對負項同理。

正是這條定理讓「符號差」成為一個合法概念，而非記帳的偶然產物。沒有慣性定律，兩個人按不同次序配方法可能報出不同答案；慣性定律保證他們在唯一要緊的事上一致。它是相對論中度規符號差的線性代數祖先，那裡 (+,-,-,-) 的劃分之所以有物理意義，恰恰因為它無法被座標改變。