雙線性型與二次型
二次型
二次型 Q 是把同一個向量同時餵進對稱雙線性型兩個槽位的產物：Q(v) = B(v, v)。在座標下它是一個二次齊次多項式——每一項要麼是平方 x_i^2，要麼是交叉項 x_i x_j，沒有一次項也沒有常數項。平方長度 ||v||^2 = x^2 + y^2 + z^2 是所有二次型中最熟悉的一個。
二次齊次意味著 Q(t*v) = t^2 * Q(v)：把輸入縮放 t 倍，輸出就縮放 t 的平方倍。簡潔地寫為 Q(x) = x^T B x，其中 B 對稱。非對角元 B_ij 在展開中出現兩次（一次作 B_ij x_i x_j，一次作 B_ji x_j x_i），這就是為何 Q 中交叉項 x_i x_j 的係數等於 2*B_ij——一個長期製造「差個 2」錯誤的源頭。
從 Q 反推 B 稱為極化：B(u, v) = (Q(u + v) - Q(u) - Q(v)) / 2。這條公式僅憑二次型就重建出雙線性型，證明對稱 B 與二次型 Q 攜帶完全相同的資訊。代價又是除以 2，故極化需要 char != 2。
一旦留心，二次型無處不在：振動系統的能量、協方差矩陣刻畫的方差、泰勒展開中的二階項（其矩陣就是 Hessian），以及二次曲線與二次曲面的定義方程。理解一個二次型，就是理解它的對稱矩陣——它的符號差、它的定性、它的主軸。
Q(x,y) = a x^2 + b xy + c y^2 = [x, y] [a, b/2; b/2, c] [x; y]
一個二次型及其對稱矩陣；極化僅憑 Q 就還原出矩陣 B。
交叉項陷阱：在 Q = a x^2 + b xy + c y^2 中，矩陣是 [a, b/2; b/2, c]，而非 [a, b; b, c]。非對角元只承擔交叉係數的一半。
又稱
另見