雙線性型

雙線性型是一台機器 B，它吃進兩個向量、返回一個純量 B(u, v)，並且對每個槽位分別是線性的。對第一個槽位線性是指 B(a*u1 + b*u2, v) = a*B(u1, v) + b*B(u2, v)；對第二個槽位線性是關於 v 的對稱說法。「雙線性」不過就是「兩次線性」——固定一個輸入，你在另一個輸入上得到一個普通的線性泛函。點積是最親切的第一個例子：B(u, v) = <u, v>。

一旦固定一組基 e_1, ..., e_n，雙線性型就被一個矩陣完全刻畫。令 B_ij = B(e_i, e_j)；那麼對任意以行向量座標表示的 u 與 v，便有乾淨的公式 B(u, v) = u^T B v。把 u^T B v 乘開，確實還原出雙重和 sum_i sum_j u_i B_ij v_j，所以這個 n 乘 n 矩陣 B 裝下了全部資訊。

麻煩之處——也是整個領域的核心——在於 B 依賴於你所選的基。用可逆矩陣 P 換基（新基 = 舊基乘 P），矩陣就變成 P^T B P，而不是 P^-1 B P。這個 P^T 而非 P^-1 正是把型與算子區分開的關鍵：線性算子按相似變換，雙線性型按合同變換。把兩者混為一談是 Vol II 的經典錯誤。

先把 B 保持一般：任意雙線性型不必對稱、也不必反稱。每個這樣的 B 都唯一地分裂成對稱部分與交替部分，S(u,v) = (B(u,v)+B(v,u))/2 與 A(u,v) = (B(u,v)-B(v,u))/2，至少當 2 在數域中可逆時如此。二次型只能看見其中的對稱部分，這正是對稱型獨佔關注的原因。