合同

兩個方陣 B 與 C 稱為合同的，若存在可逆矩陣 P 使 C = P^T B P。這是雙線性型「相同」的正確概念：B 與 P^T B P 表示的是同一個型，只是寫在兩組不同的基下而已。合同是型世界裡相似的對應物，而相似（把 P^T 換成 P^-1）是算子世界的正確概念。

合同之所以正確，直接來自換基法則。若用 x = P x' 重新表示向量（新座標 x'），則 x^T B x = (P x')^T B (P x') = x'^T (P^T B P) x'。所以型在新基下的矩陣恰為 P^T B P。因此任何你稱之為「型的」性質，都必須是合同不變量，即把 B 換成 P^T B P 時保持不變。

合同是等價關係——自反、對稱、傳遞——故它把所有對稱矩陣劃分成若干類，而對這些類進行分類正是本領域的目標。在複數上，對稱矩陣合同於一個前 r 個對角位置為 1、其餘為零的矩陣，故單憑秩就是完整不變量。在實數上你還需要秩與符號：那就是西爾維斯特慣性定律。

切勿把合同與相似混淆。特徵值是相似不變量，但它們並非合同不變量——合同可以改變對稱矩陣的特徵值，而只保留特徵值的符號。經合同存活下來的恰是符號差，而非譜。把這兩種關係混為一談，是整章中最常見的 Vol II 錯誤。