二次型的對角化

對二次型對角化，是指換元使它變成純粹的平方和與平方差、沒有交叉項：Q = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + ... + d_n y_n^2。用矩陣語言說，就是找一個可逆 P 使 P^T B P 對角。交叉項 x_i x_j 恰是 B 的非對角元，所以消去它們等同於用合同把矩陣對角化。

動手的方法是配方法，就是中學代數那招推廣到多個變量。把含 x_1 的所有項歸攏，湊成完全平方 (x_1 + 某式)^2，減去多出來的部分，重命名，再對剩下的變量重複。每一步都是可逆換元，這些換元累乘的結果就是矩陣 P。

這與算子的對角化確實不同。那裡你要求 P^-1 B P 對角（相似、特徵向量、特徵值）；這裡你要求 P^T B P 對角（合同）。你最終落到的對角元並不是 B 的特徵值——它們可被任意非零數的平方自由縮放。被迫確定的只有它們的符號，這正是西爾維斯特慣性定律的內容。

由於你有縮放的自由，對角形式遠非唯一：y -> y/sqrt(|d|) 把每個非零係數變成 +1 或 -1，得到帶 +1、-1、0 的標準平方和。每種數目是你唯一無法改變的東西——見符號差。任何特徵非 2 的數域上的對稱型都總能這樣對角化；其正交（剛性）版本就是主軸定理。