對偶配對

對偶配對是把一個泛函與一個向量合成一個數的、最簡單不過的方式：直接求值。寫成 <f, v> = f(v)，左邊是 f in V*，右邊是 v in V。它是兩個空間之間的典範橋樑，且不同於內積，它無需任何額外結構——它本就內建於對偶之中。

它是雙線性的，即對每個槽分別線性：<f + g, v> = <f, v> + <g, v> 且 <f, a*v> = a*<f, v>，另一側亦然。這讓它看起來、用起來都像內積，但它配對的是兩個不同的空間（V* 與 V），而非一個空間與自身，所以沒有 <f, f> 或「長度」的概念。

它的決定性性質是非退化：若對每個 f 都有 <f, v> = 0，則 v = 0；若對每個 v 都有 <f, v> = 0，則 f = 0。哪一側都沒有另一側探測不到的「盲點」。非退化恰是求值映射成為單射的原因，也驅動著每一條對偶定理。

一旦採用這個括號，各種陳述便獲得令人愉悅的對稱。轉置由 <g, T v> = <T* g, v> 定義，把 T 從配對的一側移到另一側；零化子 U^0 是那些對所有 u in U 滿足 <f, u> = 0 的 f。整套理論就是用一個誠實的括號來記賬。