對偶空間

V 的對偶空間記作 V*，是 V 上所有線性泛函的集合。令人驚訝的是，這個集合本身就是一個向量空間：你可以把兩個泛函相加，(f + g)(v) = f(v) + g(v)，也可以縮放一個泛函，(a*f)(v) = a*f(v)。所以「對 V 的所有測量構成的空間」是一個貨真價實的向量空間，與 V 並肩而立。

在有限維中，V* 與 V 的維數完全相同。若 V 有基 e_1, ..., e_n，則 V* 有相匹配的對偶基 e_1*, ..., e_n*，故 dim V* = dim V = n。由於維數相等，V 與 V* 同構——但只有在你選定一組基之後才成立。沒有任何天然的、不依賴基的方式把向量變成泛函，因此我們說這個同構不是典範的。

這是整個主題的核心微妙之處。V 與 V* 看起來相像（同維），卻並非自然地相同；內積恰是那份額外資料，使你能典範地把它們等同起來，把 v 送到泛函 <v, ->。沒有這份資料，向量與泛函就是兩個物種。

在無限維中，這道鴻溝極為顯著：V* 可能嚴格大於 V，而代數對偶可能遠大於分析學家關心的連續對偶。把 V 與 V* 在腦中分開來想，一旦維數不再有限便會回報你。