雙重對偶

雙重對偶是對偶的對偶：(V*)*，即 V* 上所有線性泛函的空間。乍一聽這像是無窮迴歸——對測量的測量再測量——但有件了不起的事，一步之後就讓這盤旋停了下來。

存在一個從 V 到 (V*)* 的天然映射，完全不需要選取任何基。一個向量 v 變成泛函「對我求值」：它把泛函 f 送到數 f(v)。在有限維中這個映射是同構，所以 V 與 (V*)* 不只是大小相同——它們是典範地相同。雙重對偶就是換了身衣裳的 V 本身。

把它與單重對偶對照。V 與 V* 同構，但只有在選定基之後才成立；那個同構是任意的。而映射 V -> (V*)* 不用任何選取，因此數學家稱它為典範的或自然的。它是整個線性代數中最乾淨的自然同構例子。

實用結論：因為 V 典範地等於 (V*)*，你可以自由地把向量看作「作用在泛函上的泛函」。這種對稱性驅動了整套零化子/轉置機器，讓對偶定理能雙向運行。在無限維中該映射仍把 V 單射進 (V*)*，但未必滿——使它滿的空間恰是自反空間。