自反空間

當典範求值映射 V -> (V*)* 不僅是單射、還是同構時，向量空間稱為自反——也就是說，V 透過那個自然、無須選取的映射等於自己的雙重對偶。自反性是說「取兩次對偶就能乾淨而典範地一路回到家」。

每個有限維空間都是自反的，沒有例外。求值映射總是單射，而在有限維中 dim (V*)* = dim V* = dim V 迫使單射成為雙射。所以對第一門課裡的那些空間，V 與 (V*)* 乾脆就是同一個；你可以毫不猶豫地把向量與「對其上的泛函求值」這一行為等同起來。

到了無限維，故事就變了，這正是這個詞存在的全部理由。那裡求值映射仍把 V 單射進 (V*)*，卻可能不滿：雙重對偶可以嚴格更大。使其滿的空間就是自反空間（在泛函分析中，用連續對偶：Hilbert 空間與 1 < p < infinity 的 L^p 是自反的；而 c_0、L^1 與 L-infinity 不是）。

為何在意？自反性使你能在一個空間與其雙對偶之間自由往返，它支撐著驅動大量分析與優化的緊性與存在性定理（弱極限、極小元）。在有限維你免費得到這一切；自反性命名的，正是這裡自動成立、日後卻彌足珍貴的那條性質。