求值映射

求值映射是把向量變成雙重對偶中元素的、不依賴基的配方。給定 V 中的 v，定義 ev(v) 為 V* 上的一個泛函，它在任意 f 上的取值就是 f(v)。用符號寫：ev(v)(f) = f(v)：向量在那兒等著，無論哪個泛函過來，都把 v 餵給它。

兩邊都滿足線性，這正是要害。ev 關於 v 線性（所以它是真正的線性映射 V -> (V*)*），且 ev(v) 關於 f 線性（所以它是 V* 上真正的泛函）。它還無需任何額外假設便是單射：若 v 非零，則有某個泛函把它與 0 分開，故 ev(v) 不是零泛函。在有限維中，單射加上維數相等就迫使它成為同構。

使它「典範」的，是我們自始至終沒有選取基、內積或任何輔助資料——只用到了泛函的定義。這就是為什麼每個線性映射都自動尊重它、為什麼它與轉置可交換，從而賦予對偶乾淨而無須選取的記賬方式。

可隨時用它來翻轉視角：關於向量的陳述變成關於「作用在泛函上的泛函」的陳述，反之亦然。零化子的雙重零化子定理，以及有限維空間的自反性，都不過是求值映射成為同構這一事實。