分離泛函

分離泛函是一種線性泛函，它透過給兩個事物賦予不同（或異號）的值來把它們區分開。若 x 與 y 相異，則有某個 f 使 f(x) != f(y)；若兩個凸集不相交，則有某個 f 與常數 c 把一集放在 f <= c 處、另一集放在 f >= c 處。這泛函在它們之間畫出一張超平面。

有限維中的基本存在事實很初等：泛函可分點。對任意非零向量 v，存在 f 使 f(v) != 0——只需把 v 擴充成一組基，取相匹配的對偶泛函即可。這恰是求值映射的單射性，換句話說就是「沒有哪個向量對一切測量都是隱形的」。

其凸版本是分離超平面定理：兩個不相交的凸集（在溫和條件下，例如一個緊、一個閉）可被某泛函嚴格分離。支撐泛函是邊界情形——一張觸及凸體、並把整個體留在一側的超平面，恰在接觸集上取得最大值。它們是凸優化、線性規劃對偶與拉格朗日乘子的幾何脊梁。

這一切都是 Hahn-Banach 定理的有限維投影；在無限維中該定理保證泛函仍能分離點與集，且有界泛函可從子空間延拓到整個空間。在有限維你能徒手得到這些保證；Hahn-Banach 則是那條深刻的定理，當維數計數不再夠用時，它讓這些結論依舊成立。