超平面

過原點的超平面是單個非零線性泛函的核：滿足 f(v) = 0 的向量 v 之集。它是子空間在不至於成為整個空間的前提下所能達到的最大者——餘維一，即 dim V 減一。在 R^3 中超平面是尋常的平面；在 R^2 中是一條直線；在 R^n 中是一個 (n-1) 維的平直片層。

泛函與超平面幾乎是同一份資料的兩種看法。一個非零泛函 f 確定其核超平面，而兩個泛函有相同的核當且僅當一個是另一個的非零純量倍。所以過原點的超平面與對偶空間中的方向——V* 中的直線——一一對應，而非與單個泛函一一對應。

把等位面挪離零，便得到仿射超平面：對常數 c，f(v) = c 是一個平行平移，不再過原點。整族 {f(v) = c : c in F} 把 V 層疊成一片片平行的薄層，而 f 測量你身處哪一層。這就是「泛函是一疊等位面」這幅圖、以及線性約束與決策邊界背後的圖景。

超平面是對偶的幾何面孔。用超平面把兩個集合分開，就是用泛函把它們分開；凸體的支撐超平面，就是在該體邊界上取得最大值的泛函。每當你見到線性約束 a^T x = b、分類器中的間隔、或經濟學裡的預算線，你看到的都是一個超平面，因而是一個餘向量。