餘向量

餘向量就是對偶空間的一個元素——一個線性泛函——但這個名字標示了一種視角：它是與向量「相反類型」的對象。向量是一行、可想成箭頭；餘向量則是一列，應想成一疊被向量刺穿的平行等位面。把向量餵給餘向量，數的是箭頭穿過了多少層面。

其定義性的行為在於它如何變換。換基時若使向量的座標乘以某矩陣 P，則餘向量的分量要乘以逆轉置 (P^-1)^T。向量與餘向量逆向變換，這正是前綴「餘/逆」的全部緣由：它們隨對偶基協同變化、與原基逆向變化。

正是這種相反的變換，使配對 <f, v> = f(v) 保持為一個不依賴基的數。若向量在改單位時放大，餘向量就必須以相匹配的因子縮小，於是它們的乘積不變。餘向量就是這樣一種東西：它與向量的配對是一個誠實的、不依賴座標的量。

一旦留意，熟悉的餘向量到處都是：梯度是餘向量（它吃一個方向、返回方向導數），測量矩陣的一行是餘向量，價格向量與數量向量作點積也是餘向量作用於向量。把向量與餘向量分作不同類型，能在幾何、物理與優化中避免實實在在的錯誤。