對偶基

給定 V 的一組基 e_1, ..., e_n，對偶基是 V* 上相匹配的一組泛函 e_1*, ..., e_n*，其中 e_i* 是讀出第 i 個座標的泛函。它由這條乾淨的法則釘死：e_i*(e_j) = delta_ij，即指標相同時返回 1、否則返回 0。

因此 e_i* 回答的是「這個向量裡含有多少 e_i？」。若 v = a_1*e_1 + ... + a_n*e_n，則恰有 e_i*(v) = a_i。對偶基把「座標」這個抽象概念變成了具體的泛函：座標映射其實就是這組 (e_1*, ..., e_n*)。

這 n 個泛函構成 V* 的一組基，這正是 dim V* = dim V 的緣由。任何泛函 f 都可寫成 f = f(e_1)*e_1* + ... + f(e_n)*e_n*：泛函由它在基上的取值決定，而這些取值就是它在對偶基下的座標。

警告：對偶基是整組基的性質，而非單個向量的性質。哪怕只改動一個 e_j，也可能改變每一個 e_i*，因為每個 e_i* 都必須在所有其他基向量上取零。這種非局部性，正是協變量在換基下與向量「逆向」變換的根源。