協變與逆變

換基時，向量與泛函的變換方式並不相同，這兩個詞就命名了這兩種模式。普通向量的分量逆變變換——與基相反——而泛函（餘向量）的分量協變變換——與對偶基同向。要點在於它們朝相反方向移動，從而它們之間的配對保持不變。

說具體些。設新基向量是舊基向量經矩陣 P 組合而成（新者用舊者表示）。那麼向量的座標按 P^-1 變化（逆變：若把單位加倍，座標就減半），而餘向量的分量按 P^T 變化（協變）。這兩條法則互為逆轉置，這恰是一組基與其對偶基之間的關係。

倖存下來的「不變量」是配對：<f, v> = sum f_i v^i 在每組基下都是同一個數，因為來自向量的 P 因子與來自餘向量的 P^-1 因子相消。不依賴座標的實在，就是任何不隨基改變之物，而配對正是其原型。

這是張量微積分的種子。物理學家把這兩條變換法則編碼為上指標（逆變、向量樣）與下指標（協變、餘向量樣）；一般張量則二者兼有。把指標擺對上下，恰恰就是把向量與餘向量分清——正是你一路在建立的那個區別，用上抬與下放的標號寫出來罷了。