對稱雙線性型

對稱雙線性型是指兩個輸入的次序無關緊要的型：對所有 u, v 都有 B(u, v) = B(v, u)。點積以及每個內積都是對稱的——交換你正在比較的兩個向量，不應改變答案。正是這一條對稱性條件使型具有幾何意義，因為它讓 B 能夠一致地度量長度與角度。

用矩陣語言說，型的對稱性恰好就是其矩陣的對稱性：對所有 u, v 有 B(u,v) = B(v,u) 當且僅當 B^T = B。所以 F^n 上的對稱雙線性型與對稱 n 乘 n 矩陣完全一一對應。合同變換保持這一點：若 B 對稱，則 P^T B P 也對稱，故「對稱」是型的一個與基無關的性質。

對稱型正是與二次型配對的那一類。由任一對稱 B 可得二次型 Q(v) = B(v, v)，反過來極化又能從 Q 還原出 B。這種來回意味著研究對稱雙線性型與研究二次型其實是同一門學問的兩個視角——而下面幾乎一切（對角化、符號差、定性）都生活在這個世界裡。

誠實提醒：對稱型與二次型之間的等價需要 2 在數域中可逆，因為極化要除以 2。在實數與複數上這是自動成立的；而在特徵為 2 的數域上，這套理論會真正分裂開來，許多教科書在本章裡都默默假設 char != 2。